Условие
Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через A, вторично пересекает первую окружность в точке C, а вторую — в точке D; прямая, проходящая через B, вторично пересекает первую окружность в точке E, а вторую — в точке F. Точка A лежит между C и D, точка B — между E и F, отрезки CD и EF не пересекаются. Докажите, что прямые CE и DF параллельны.
Подсказка
Проведите общую хорду AB: получатся два четырёхугольника, вписанных в разные окружности.
Выразите угол BAD через угол CEB, а затем сравните его с углом DFB.
Показать ответ
CE∥DF
Пошаговое решение
- Проводим общую хорду и выделяем вписанные четырёхугольники
Проведём отрезок AB. Точки C, A, B, E лежат на первой окружности, и четырёхугольник CABE вписан в неё; точки A, D, F, B лежат на второй окружности, и четырёхугольник ADFB вписан во вторую окружность.
- Применяем свойство вписанного четырёхугольника CABE
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°: ∠CAB+∠CEB=180°.
- Переходим к смежному углу
Точка A лежит между C и D, поэтому углы CAB и BAD смежные: ∠BAD=180°−∠CAB=∠CEB.
- Применяем свойство вписанного четырёхугольника ADFB
В четырёхугольнике ADFB противоположные углы при вершинах A и F дают в сумме 180°: ∠BAD+∠DFB=180°. Заменяя ∠BAD на ∠CEB, получаем ∠CEB+∠DFB=180°.
- Делаем вывод о параллельности
B лежит на отрезке EF, поэтому ∠CEB=∠CEF и ∠DFB=∠DFE. Это односторонние углы при прямых CE и DF и секущей EF (точки C и D лежат по одну сторону от EF), их сумма 180°, значит, CE∥DF, что и требовалось доказать. Типичная ошибка — записать ∠CAB=∠CEB (как вписанные на одну дугу), хотя точки A и E лежат по разные стороны от хорды CB и эти углы в сумме дают 180°.
Ответ: CE∥DF
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: проведена общая хорда AB, для вписанных четырёхугольников CABE и ADFB использовано свойство противоположных углов, через смежный угол BAD получено ∠CEF+∠DFE=180° и сделан вывод CE∥DF по признаку параллельности (односторонние углы).
- 1
- Доказательство в целом верное, но в конце не назван признак параллельности прямых (сумма односторонних углов 180°) или равенство ∠BAD=∠CEB получено без ссылки на смежные углы, остальные переходы обоснованы.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.