ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство

Какой угол с вершиной B опирается на диаметр AC? Чему он равен?

Сколько прямых, перпендикулярных AB, можно провести через точку B?

1. Рассматриваем угол ABC

   Точка B лежит на первой окружности и отлична от A и C: если бы B совпала с C, отрезок AB был бы диаметром первой окружности. Угол ABC — вписанный и опирается на диаметр AC, поэтому ∠ABC=90°.

2. Рассматриваем угол ABD

   Точно так же B лежит на второй окружности и отлична от D, угол ABD — вписанный, опирающийся на диаметр AD, поэтому ∠ABD=90°.

3. Переходим к перпендикулярам

   Из ∠ABC=90° следует, что прямая BC перпендикулярна прямой AB; из ∠ABD=90° — что прямая BD перпендикулярна AB. Обе прямые проходят через точку B.

4. Применяем единственность перпендикуляра

   Через точку B прямой AB проходит только одна прямая, перпендикулярная AB. Значит, прямые BC и BD совпадают, и точки C, B, D лежат на одной прямой.

5. Делаем вывод и проверяем рассуждение

   Точки C, B и D лежат на одной прямой, что и требовалось доказать. Типичная ошибка — написать ∠CBD=∠ABC+∠ABD=180°: это верно, только если C и D лежат по разные стороны от прямой AB. Если центры обеих окружностей лежат по одну сторону от AB, то и C, D по одну сторону, и сложение углов неверно, а ссылка на единственность перпендикуляра работает всегда.

Ответ: точки C, B и D лежат на одной прямой

2

Доказательство верное, все шаги обоснованы: углы ABC и ABD названы вписанными углами, опирающимися на диаметры, и равны 90° (с пояснением, что B отлична от C и D), вывод о том, что C, B, D лежат на одной прямой, сделан через единственность перпендикуляра к AB в точке B.

1

Доказательство в целом верное, но содержит неточность: прямые углы ABC и ABD найдены верно, а вывод сделан сложением углов ∠ABC+∠ABD=180° без обоснования, что C и D лежат по разные стороны от AB, или не пояснено, почему угол ABC опирается на диаметр.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.