Условие
Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников ABM и CDM равна половине площади параллелограмма.
Подсказка
Запишите площади треугольников ABM и CDM через равные стороны AB и CD и высоты из M.
Как связаны расстояния от M до прямых AB и CD с высотой параллелограмма?
Показать ответ
S(ABM)+S(CDM)=S(ABCD)/2
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть AB=CD=a (противоположные стороны параллелограмма равны), h — расстояние между параллельными прямыми AB и CD, то есть высота параллелограмма, проведённая к стороне AB. Тогда S(ABCD)=a·h.
- Проводим через M перпендикуляр к AB и CD
Проведём через M прямую, перпендикулярную AB. Так как CD ∥ AB, она перпендикулярна и CD. Пусть она пересекает прямые AB и CD в точках P и Q. Тогда MP=h₁ — высота треугольника ABM, MQ=h₂ — высота треугольника CDM.
- Складываем высоты
Точка M лежит внутри параллелограмма, то есть между прямыми AB и CD, поэтому M лежит на отрезке PQ и h₁+h₂=PQ=h.
- Складываем площади
S(ABM)=a·h₁/2, S(CDM)=a·h₂/2. Их сумма a·(h₁+h₂)/2=a·h/2=S(ABCD)/2, что и требовалось.
- Проверяем обоснования и типичную ошибку
Главное — объяснить, почему h₁+h₂=h: перпендикуляр к одной из параллельных прямых перпендикулярен и другой, а M лежит между ними. Ошибка — брать высоты треугольников к разным сторонам (например, к AD и CD) или считать, что M — точка пересечения диагоналей: точка произвольная, её нельзя выбирать удобной.
Ответ: S(ABM)+S(CDM)=S(ABCD)/2
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: площади треугольников ABM и CDM выражены через равные основания AB=CD и высоты из точки M, обосновано, что сумма этих высот равна высоте параллелограмма, и сделан вывод через S(ABCD)=a·h.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, равенство h₁+h₂=h использовано без объяснения (не сказано, что перпендикуляр к AB перпендикулярен и CD и что M лежит между этими прямыми).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.