Условие
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая MN касается первой окружности в точке M, а второй — в точке N. Докажите, что угол MKN прямой.
Подсказка
Проведите через K общую касательную двух окружностей до пересечения с MN в точке P.
Сравните отрезки касательных PM, PK и PN, проведённых из одной точки.
Показать ответ
∠MKN=90°
Пошаговое решение
- Проводим общую касательную в точке K
Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Проведём через K прямую, перпендикулярную линии центров O₁O₂. Радиусы O₁K и O₂K лежат на линии центров (точка касания окружностей лежит на ней), поэтому эта прямая касается обеих окружностей в точке K. Окружности лежат по разные стороны от неё, а точки M и N лежат на разных окружностях, значит, отрезок MN пересекает эту касательную в некоторой точке P, лежащей между M и N.
- Применяем равенство отрезков касательных
Из точки P к первой окружности проведены касательные PM и PK, поэтому PM=PK. Из той же точки ко второй окружности проведены касательные PN и PK, поэтому PN=PK. Итак, PM=PK=PN.
- Находим углы в равнобедренных треугольниках
Треугольник MPK равнобедренный (PM=PK), значит, ∠PMK=∠PKM; обозначим эти углы α. Треугольник NPK равнобедренный (PN=PK), значит, ∠PNK=∠PKN; обозначим их β.
- Складываем углы треугольника MKN
Точка P лежит на отрезке MN, поэтому луч KP проходит внутри угла MKN и ∠MKN=∠MKP+∠PKN=α+β. Кроме того, ∠KMN=α и ∠KNM=β. По теореме о сумме углов треугольника MKN: α+β+(α+β)=180°, откуда α+β=90°.
- Записываем вывод
∠MKN=α+β=90°, что и требовалось доказать. Типичная ошибка — сразу сказать, что «KP — медиана, равная половине MN», не доказав равенства PM=PK=PN через касательные из одной точки; другая — не пояснить, почему прямая, проведённая через K, касается обеих окружностей.
Ответ: ∠MKN=90°
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: построена общая касательная в точке K, доказано PM=PK=PN как отрезки касательных из точки P, из двух равнобедренных треугольников и суммы углов треугольника MKN получено ∠MKN=90°.
- 1
- Доказательство в целом верное, но один переход не обоснован: например, не пояснено, почему прямая через K касается обеих окружностей, или равенство ∠MKN=∠MKP+∠PKN принято без ссылки на то, что P лежит на отрезке MN.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.