Условие
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от O до точки A и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка
Радиус вписанной окружности равен расстоянию от O до AC: r=6. Найдите отрезок касательной от A.
Высота параллелограмма равна сумме расстояний от O до AD и BC; затем выразите площадь треугольника двумя способами.
Показать ответ
672
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Радиус вписанной окружности равен расстоянию от O до AC: r=6. Найдите отрезок касательной от A. Высота параллелограмма равна сумме расстояний от O до AD и BC; затем выразите площадь треугольника двумя способами.
- Вводим обозначения
Пусть окружность касается AC в K. OK=r=6, OA=10, поэтому из прямоугольного треугольника AOK: AK=√(10²-6²)=8.
- Выполняем преобразование
Так как AD∥BC и расстояние от O до AD равно 8, а до BC равно r=6, высота параллелограмма h=14.
- Вводим обозначения
Пусть BC=x.
- Выполняем преобразование
Тогда S(ABC)=xh/2=7x.
- Выполняем преобразование
Полупериметр треугольника равен AK+BC=8+x (сумма касательных от A равна AK, а касательные от B и C вместе дают BC). С другой стороны, S(ABC)=r·p=6(8+x).
- Получаем следующий результат
Получаем 7x=48+6x, значит x=48. S(ABC)=7·48=336, а диагональ делит параллелограмм пополам, поэтому S(ABCD)=672.
Ответ: 672