Условие
В окружности радиуса 13 хорда AB находится на расстоянии 5 от центра O. Касательные к окружности в точках A и B пересекаются в точке P. Найдите OP.
Подсказка
Пусть M — середина хорды AB. Тогда OM⊥AB и OP проходит через M.
В прямоугольном треугольнике OAP высота AM к гипотенузе OP даёт OA²=OM·OP.
Показать ответ
33.8
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Пусть M — середина хорды AB. Тогда OM⊥AB и OP проходит через M. В прямоугольном треугольнике OAP высота AM к гипотенузе OP даёт OA²=OM·OP.
- Выполняем преобразование
Перпендикуляр OM к хорде AB делит её пополам.
- Выполняем преобразование
Из симметрии точка P лежит на прямой OM.
- Выполняем преобразование
Радиус OA перпендикулярен касательной AP, поэтому треугольник OAP прямоугольный, а AM — высота к гипотенузе OP.
- Выполняем преобразование
По свойству прямоугольного треугольника OA²=OM·OP.
- Получаем следующий результат
Следовательно, OP=13²/5=169/5=33,8.
Ответ: 33.8