Условие
Основания трапеции ABCD равны AD = 17 и BC = 7. Отрезок MN с концами на боковых сторонах AB и CD параллелен основаниям и делит трапецию на две части равной площади. Найдите длину отрезка MN.
Подсказка
Продлите боковые стороны до пересечения. Какие треугольники получатся подобными?
Выразите площади обеих частей через площади подобных треугольников и приравняйте их.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Дополнительное построение
Продлим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке P. BC ∥ MN ∥ AD, поэтому треугольники PBC, PMN и PAD подобны (общий угол P, соответственные углы при параллельных прямых).
- Площади подобных треугольников
Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон. Пусть MN = x и S(PBC) = k · 7². Тогда S(PMN) = k · x², S(PAD) = k · 17² = k · 289.
- Составляем уравнение
Верхняя часть трапеции: S(MBCN) = S(PMN) − S(PBC) = k(x² − 49). Нижняя: S(AMND) = S(PAD) − S(PMN) = k(289 − x²). По условию они равны: x² − 49 = 289 − x².
- Решаем уравнение
2x² = 289 + 49 = 338, x² = 169, x = 13 (длина положительна).
- Проверяем и записываем ответ
7 < 13 < 17 — отрезок лежит между основаниями. Типичная ошибка — взять среднюю линию (17 + 7) : 2 = 12: она делит пополам высоту, но не площадь — нижняя часть с большим основанием получается больше.
Ответ: 13
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано подобие треугольников PBC, PMN, PAD, площади выражены через квадраты сторон, из уравнения x² − 49 = 289 − x² получен верный ответ 13.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но подобие треугольников не обосновано (не указаны параллельность и общий угол), либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.