ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Опустите из вершины B перпендикуляры на прямые AD и CD. Какой четырёхугольник они образуют с точкой D?

Сравните прямоугольные треугольники с гипотенузами AB и BC. Что можно сказать о площадях?

1. Дополнительное построение

   Опустим из B перпендикуляры BH на прямую AD и BK на прямую CD. В четырёхугольнике BHDK углы при вершинах H, D и K прямые, значит, это прямоугольник, и угол HBK тоже прямой.

2. Равные прямоугольные треугольники

   Углы ABC и HBK прямые, поэтому углы ABH и CBK равны: каждый из них дополняет угол HBC до 90°. Прямоугольные треугольники ABH и CBK равны по гипотенузе (AB = BC) и острому углу. Отсюда BH = BK и S(ABH) = S(CBK).

3. BHDK — квадрат

   У прямоугольника BHDK соседние стороны BH и BK равны, значит, это квадрат, а BD — его диагональ.

4. Площадь ABCD равна площади квадрата

   Четырёхугольник ABCD получается из квадрата BHDK, если отрезать треугольник CBK и приложить равный ему треугольник ABH (общая часть — четырёхугольник HBCD; так при A на продолжении DH и C на отрезке DK, в симметричном случае меняются ролями A и C). Поэтому S(ABCD) = S(BHDK) = BD² : 2 = 12² : 2 = 72.

5. Проверяем и записываем ответ

   Сторона квадрата BH = BD : √2, BH² = 72 — совпадает. Форма ABCD условием не определена (AD и CD могут быть разными), но площадь у всех таких четырёхугольников одна. Типичные ошибки — считать ABCD квадратом без доказательства (это не так, на рисунке AD ≠ CD) или взять BD за сторону квадрата и получить 144.

Ответ: 72

2

Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: проведены перпендикуляры BH и BK, доказано равенство треугольников ABH и CBK (гипотенуза и острый угол), обосновано, что BHDK — квадрат с диагональю BD и S(ABCD) = S(BHDK), получен верный ответ 72.

1

Ход решения верный, все шаги выполнены, но равенство углов ABH и CBK или замена ABCD квадратом BHDK (равновеликость) не обоснована, либо допущена одна вычислительная ошибка в площади квадрата.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.