Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Найдите длину отрезка A1B1, если AB=12, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.
Подсказка
Выразите CA1 и CB1 через стороны AC, BC и косинус угла C.
Какую тригонометрическую функцию угла C даёт теорема синусов, если известны AB и R?
Показать ответ
9,6
Пошаговое решение
- Выражаем CA1 и CB1 через cos C
Треугольник AA1C прямоугольный (угол A1 прямой), поэтому CA1=AC·cos C. Треугольник BB1C прямоугольный (угол B1 прямой), поэтому CB1=BC·cos C. Треугольник остроугольный, основания высот лежат на сторонах, и cos C>0.
- Доказываем подобие треугольников A1CB1 и ACB
У треугольников A1CB1 и ACB общий угол C, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: CA1/CA=CB1/CB=cos C. По второму признаку подобия треугольники подобны с коэффициентом cos C, поэтому A1B1=AB·cos C.
- Находим sin C по теореме синусов
По теореме синусов AB/sin C=2R, откуда sin C=AB/(2R)=12/20=0,6.
- Находим cos C и A1B1
Угол C острый, поэтому cos C=√(1−sin²C)=√(1−0,36)=√0,64=0,8. Тогда A1B1=AB·cos C=12·0,8=9,6.
- Проверяем и записываем ответ
A1B1=9,6<AB=12, как и должно быть при коэффициенте подобия меньше 1. Типичные ошибки — взять A1B1=AB·sin C=7,2 или забыть обосновать, что cos C положителен (именно здесь нужна остроугольность).
Ответ: 9,6
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказано подобие треугольников A1CB1 и ACB с коэффициентом cos C (общий угол и CA1/CA=CB1/CB=cos C), по теореме синусов найден sin C=0,6, обоснован знак cos C=0,8, получен ответ 9,6.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но подобие не обосновано (равенство A1B1=AB·cos C взято без доказательства) или не пояснено, почему cos C>0, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.