ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Проведите через M прямую, параллельную BK. На какие части она делит отрезок KC?

Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

1. Дополнительное построение

   Проведём через точку M прямую, параллельную BK; пусть она пересекает AC в точке N. Рассмотрим угол C со сторонами CB и CA: параллельные прямые BK и MN отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Так как CM=MB (M — середина BC), то и CN=NK (теорема Фалеса).

2. Находим AK:KC

   Теперь рассмотрим угол A со сторонами AM и AN: прямые PK и MN параллельны, поэтому AK:KN=AP:PM=3:2. Пусть AK=3t, KN=2t. Тогда NC=KN=2t, KC=4t и AK:KC=3:4, AK/AC=3/7.

3. Площадь треугольника AMC

   Медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника равной площади (равные основания BM=MC и общая высота из A): S(AMC)=140:2=70.

4. Площадь треугольника APK

   Треугольники APK и AMC имеют общий угол A, поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (S=(1/2)·xy·sin A): S(APK)/S(AMC)=(AP/AM)·(AK/AC)=(3/5)·(3/7)=9/35. S(APK)=70·(9/35)=18.

5. Находим площадь KPMC и проверяем

   Четырёхугольник KPMC — это треугольник AMC без треугольника APK: S(KPMC)=70−18=52. Типичная ошибка — считать, что BK делит AC в том же отношении 3:2, что и медиану; тогда получилось бы 44,8. Точка K делит AC в отношении 3:4, это и даёт параллельная прямая MN.

Ответ: 52

2

Обоснованно найдено AK:KC=3:4 (построение MN, параллельной BK, и теорема о пропорциональных отрезках дважды или иной обоснованный способ), верно найдены S(AMC)=70 и S(APK)=18, получен ответ 52.

1

Ход решения верный, все шаги выполнены, но обоснование отношения AK:KC неполное (не указано, почему KN=NC) либо при вычислении площадей допущена одна вычислительная ошибка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.