ОГЭ, задание 25: Геометрия: сложная задача

Перенесите одну из диагоналей параллельно так, чтобы она начиналась в вершине C. Какой треугольник получится?

Сравните площадь полученного треугольника с площадью трапеции: у них общая высота, а основание треугольника равно сумме оснований трапеции.

1. Дополнительное построение: переносим диагональ

   Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD; пусть она пересекает прямую AD в точке E. В четырёхугольнике BCED BC ∥ DE и BD ∥ CE, значит, это параллелограмм: CE = BD = 25, DE = BC = 6. Точка E лежит на продолжении AD за точку D, поэтому AE = AD + DE = 22 + 6 = 28.

2. Площадь треугольника ACE равна площади трапеции

   Пусть h — высота трапеции; это и высота треугольника ACE из вершины C, ведь C лежит на прямой BC, параллельной AE. S(ACE) = (1/2) · AE · h = (1/2) · (AD + BC) · h = S(ABCD).

3. Формула Герона для треугольника ACE

   Стороны треугольника ACE: AC = 17, CE = 25, AE = 28. Полупериметр p = (17 + 25 + 28) : 2 = 35. S = √(35 · 18 · 10 · 7) = √44100 = 210.

4. Записываем площадь трапеции

   S(ABCD) = S(ACE) = 210. Попутно высота трапеции h = 2S : AE = 420 : 28 = 15.

5. Проверяем и записываем ответ

   Проверка координатами: A(0; 0), D(22; 0), C(8; 15), B(2; 15): AC = √(8² + 15²) = 17, BD = √(20² + 15²) = 25, S = (22 + 6) : 2 · 15 = 210. Типичная ошибка — забыть отрезок DE и считать AE = AD = 22: тогда «площадь» ≈ 183,3, к трапеции не относящаяся.

Ответ: 210

2

Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: выполнено построение CE ∥ BD и обосновано, что BCED — параллелограмм (CE = 25, AE = 28), доказано S(ABCD) = S(ACE), по формуле Герона получен верный ответ 210.

1

Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что BCED — параллелограмм, или равенство площадей трапеции и треугольника ACE взято без пояснения, либо допущена одна вычислительная ошибка в формуле Герона.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.