Условие
В квадрат ABCD со стороной 30 вписана окружность. Прямая, касающаяся окружности, пересекает стороны BC и CD в точках M и N соответственно, CM=10. Найдите площадь треугольника MCN.
Подсказка
Где окружность касается сторон BC и CD? Чему равны отрезки касательных из вершины C?
Обозначьте CN через y, выразите гипотенузу MN через отрезки касательных и примените теорему Пифагора.
Показать ответ
37,5
Пошаговое решение
- Находим отрезки касательных из вершины C
Окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах P (на BC) и Q (на CD), поэтому CP = CQ = 30/2 = 15.
- Выражаем MN через CN
Пусть T — точка касания прямой MN, CN = y. Отрезки касательных из одной точки равны: MT = MP = CP − CM = 15 − 10 = 5, NT = NQ = 15 − y. Тогда MN = MT + TN = 5 + 15 − y = 20 − y.
- Применяем теорему Пифагора
Угол MCN прямой (угол квадрата): MN² = CM² + CN², (20 − y)² = 10² + y², 400 − 40y = 100, y = 300/40 = 7,5.
- Находим площадь
S(MCN) = CM·CN/2 = 10·7,5/2 = 37,5.
- Проверка
MN = 20 − 7,5 = 12,5, и 12,5² = 156,25 = 100 + 56,25. Периметр MCN = 10 + 7,5 + 12,5 = 30 = CP + CQ, как и должно быть для треугольника, отсечённого касательной. Типичная ошибка — считать треугольник равнобедренным (CN = 10).
Ответ: 37,5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что CP = CQ = 15 и отрезки касательных MT = MP, NT = NQ, верно выражено MN = 20 − CN, решено уравнение по теореме Пифагора (CN = 7,5), получена площадь 37,5.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но равенство отрезков касательных или точки касания в серединах сторон не обоснованы, либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения или в площади.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.