Условие
Окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами 5 и 10 касаются внешним образом в точке K. Прямая, проходящая через точку K, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке B, AK=6. Через точку A проведена касательная к первой окружности, через точку B — касательная ко второй. Найдите расстояние между этими касательными.
Подсказка
Сравните углы при основаниях равнобедренных треугольников O₁AK и O₂BK. Что следует о радиусах O₁A и O₂B?
Касательные перпендикулярны радиусам. Расстояние между параллельными прямыми — проекция AB на направление радиуса.
Показать ответ
10,8
Пошаговое решение
- Доказываем, что O₁A ∥ O₂B
Точка касания окружностей лежит на линии центров, поэтому O₁, K, O₂ на одной прямой, и углы O₁KA и O₂KB вертикальные, то есть равны. Треугольники O₁AK и O₂BK равнобедренные (O₁A = O₁K, O₂B = O₂K как радиусы), поэтому угол O₁AK = угол O₁KA = угол O₂KB = угол O₂BK. Углы O₁AB и O₂BA — накрест лежащие при прямых O₁A, O₂B и секущей AB, значит, O₁A ∥ O₂B.
- Находим AB
Треугольники O₁AK и O₂BK подобны по двум углам с коэффициентом 10/5 = 2, поэтому KB = 6·2 = 12, AB = AK + KB = 6 + 12 = 18.
- Доказываем, что касательные параллельны
Касательная в A перпендикулярна радиусу O₁A, касательная в B перпендикулярна радиусу O₂B. Так как O₁A ∥ O₂B, обе касательные перпендикулярны одной прямой и потому параллельны. Расстояние между ними — длина перпендикуляра BF из B на касательную в A; BF ∥ O₁A.
- Находим угол и расстояние
Проведём в равнобедренном треугольнике O₁AK высоту O₁H, она же медиана: AH = 6/2 = 3, cos(угол O₁AK) = AH/O₁A = 3/5 = 0,6. Угол ABF равен углу O₁AB как накрест лежащий при BF ∥ O₁A. Из прямоугольного треугольника ABF: BF = AB·cos(угол ABF) = 18·0,6 = 10,8.
- Проверка
Расстояние складывается из проекций AK и KB на направление радиуса: 6·0,6 + 12·0,6 = 3,6 + 7,2 = 10,8. Типичные ошибки — принять за расстояние сам отрезок AB = 18 (он не перпендикулярен касательным) или сумму диаметров 30 (так было бы, только если прямая проходит через центры).
Ответ: 10,8
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что O₁A ∥ O₂B (вертикальные углы и равнобедренные треугольники) и касательные параллельны, по подобию найдено AB = 18, верно найден cos угла O₁AK = 0,6 и расстояние 10,8.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но параллельность радиусов или касательных не обоснована, либо допущена одна вычислительная ошибка при нахождении KB, косинуса или расстояния.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.