Условие
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Известно, что BC = 25, AC = 40, AD = 44. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Сравните углы BCA и CAD. Какой треугольник отсекает диагональ-биссектриса?
Найдите косинус угла BAC из равнобедренного треугольника ABC, а высоту трапеции — из треугольника ACH.
Показать ответ
828
Пошаговое решение
- Треугольник ABC равнобедренный
∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей AC. AC — биссектриса, поэтому ∠CAD = ∠BAC. Значит, ∠BCA = ∠BAC, и треугольник ABC равнобедренный с основанием AC: AB = BC = 25.
- Косинус угла BAC
Опустим из B высоту BN на AC. В равнобедренном треугольнике она же медиана: AN = AC : 2 = 20. В прямоугольном треугольнике ABN cos ∠BAC = AN : AB = 20 : 25 = 0,8, sin ∠BAC = √(1 − 0,8²) = 0,6.
- Высота трапеции
∠CAD = ∠BAC, поэтому sin ∠CAD = 0,6. Опустим высоту CH на AD. В прямоугольном треугольнике ACH CH = AC · sin ∠CAD = 40 · 0,6 = 24.
- Площадь трапеции
S = (AD + BC) : 2 · CH = (44 + 25) : 2 · 24 = 34,5 · 24 = 828.
- Проверяем и записываем ответ
AH = AC · cos ∠CAD = 32, а B проектируется в точку на расстоянии 32 − 25 = 7 от A: AB² = 7² + 24² = 625 = 25² — верно. Типичная ошибка — взять высоту трапеции равной BN = 15 (высоте треугольника ABC к AC), но BN не перпендикулярна основаниям.
Ответ: 828
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано AB = BC = 25 (накрест лежащие углы и биссектриса), найдены cos ∠BAC = 0,8, высота 24 и получен верный ответ 828.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но равнобедренность треугольника ABC не обоснована или равенство углов BAC и CAD при переходе к высоте не указано, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.