Условие
Хорды AC и BD окружности перпендикулярны и пересекаются в точке E. Известно, что AE=2, EC=22, BE=4. Найдите радиус окружности.
Подсказка
Сначала найдите четвёртый отрезок по свойству пересекающихся хорд.
Проведите диаметр через точку B и рассмотрите вписанные углы, опирающиеся на него.
Показать ответ
12,5
Пошаговое решение
- Находим ED
По свойству пересекающихся хорд AE·EC = BE·ED: 2·22 = 4·ED, ED = 11.
- Проводим диаметр BB′
Пусть BB′ — диаметр окружности. Вписанный угол BDB′ опирается на диаметр, поэтому B′D ⊥ BD. По условию AC ⊥ BD, значит, B′D ∥ AC (две прямые, перпендикулярные третьей).
- Доказываем, что AB′ = CD
Четырёхугольник с вершинами A, C, B′, D — трапеция с основаниями AC и DB′, вписанная в окружность. Вписанная трапеция равнобедренная, а диагонали равнобедренной трапеции равны: AB′ = CD.
- Получаем 4R² = AB² + CD²
Угол BAB′ опирается на диаметр BB′, поэтому он прямой, и по теореме Пифагора AB² + AB′² = BB′² = 4R². Заменяя AB′ на CD: 4R² = AB² + CD². Из прямоугольных треугольников AEB и CED: AB² = 2² + 4² = 20, CD² = 22² + 11² = 605. 4R² = 625, 2R = 25, R = 12,5.
- Проверка
Введём координаты: E(0; 0), A(−2; 0), C(22; 0), B(0; 4), D(0; −11). Центр лежит на серединных перпендикулярах к хордам: x = 10, y = −3,5; R² = OA² = (12)² + (3,5)² = 156,25, R = 12,5. Типичная ошибка — считать хорду AC = 24 диаметром: она не проходит через центр.
Ответ: 12,5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Найдено ED = 11, обосновано равенство AB² + CD² = 4R² (диаметр BB′, B′D ∥ AC, равнобедренная вписанная трапеция, прямой угол BAB′) или центр найден на серединных перпендикулярах к хордам, получено R = 12,5.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но соотношение AB² + CD² = 4R² использовано без доказательства или не обосновано положение центра, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.