Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD равны AC = 18 и BD = 26. Точки M, N, P и Q — середины сторон AB, CD, BC и AD соответственно. Отрезок MN равен 10. Найдите длину отрезка PQ.
Подсказка
Рассмотрите отрезки MP, PN, NQ, QM — средние линии каких треугольников?
MN и PQ — диагонали параллелограмма. Какое соотношение связывает диагонали и стороны параллелограмма?
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Средние линии треугольников
MP — средняя линия треугольника ABC: MP ∥ AC, MP = AC : 2 = 9. QN — средняя линия треугольника ADC: QN ∥ AC, QN = 9. Аналогично MQ и PN — средние линии треугольников ABD и CBD: они параллельны BD и равны BD : 2 = 13.
- Параллелограмм MPNQ
У четырёхугольника MPNQ противоположные стороны MP и QN равны и параллельны, значит, это параллелограмм (параллелограмм Вариньона) со сторонами 9 и 13. Отрезки MN и PQ — его диагонали.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон (по теореме косинусов в двух треугольниках с соседними углами, косинусы которых противоположны): MN² + PQ² = 2 · (MP² + PN²).
- Находим PQ
10² + PQ² = 2 · (9² + 13²) = 2 · (81 + 169) = 500. PQ² = 500 − 100 = 400, PQ = 20.
- Проверяем и записываем ответ
Параллелограмм со сторонами 9, 13 и диагоналями 10, 20 существует: каждая диагональ меньше 22 = 9 + 13. Типичная ошибка — забыть, что стороны MPNQ равны половинам диагоналей, и подставить 18 и 26: получится √1900, а не целое число.
Ответ: 20
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: доказано, что MPNQ — параллелограмм со сторонами 9 и 13 (средние линии), применено MN² + PQ² = 2(MP² + PN²), получен верный ответ 20.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что MPNQ — параллелограмм (нет ссылки на средние линии), или соотношение для диагоналей использовано без пояснения, либо одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.