Условие
Окружности радиусов 36 и 9 касаются внешним образом. Прямая касается обеих окружностей в различных точках A и B. Третья окружность расположена между ними, касается каждой из них внешним образом и касается прямой AB. Найдите радиус третьей окружности.
Подсказка
Радиусы в точки касания перпендикулярны прямой. Какую фигуру образуют два центра и две точки касания?
Выразите через радиус третьей окружности расстояния от её точки касания до точек A и B и сложите их.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Доказываем формулу отрезка общей касательной
Пусть окружности радиусов a и b касаются внешним образом и касаются прямой в точках P и Q. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны прямой, поэтому они параллельны и вместе с отрезком PQ и отрезком, соединяющим центры, образуют прямоугольную трапецию. Точка касания окружностей лежит на линии центров, поэтому расстояние между центрами равно a + b. Проведём из центра меньшей окружности перпендикуляр к большему радиусу: получим прямоугольный треугольник с гипотенузой a + b, катетом |a − b| и вторым катетом, равным PQ. Значит, PQ² = (a + b)² − (a − b)² = 4ab, PQ = 2√(ab).
- Находим AB
Для данных окружностей: AB = 2√(36·9) = 2√324 = 2·18 = 36.
- Выражаем отрезки через радиус третьей окружности
Пусть x — радиус третьей окружности, C — точка её касания с прямой. Она касается каждой из данных окружностей внешним образом, поэтому по той же формуле AC = 2√(36x) = 12√x, CB = 2√(9x) = 6√x. Третья окружность лежит между данными, поэтому точка C лежит между A и B: AC + CB = AB.
- Решаем уравнение
12√x + 6√x = 36, 18√x = 36, √x = 2, x = 4.
- Проверка
AC = 12·2 = 24, CB = 6·2 = 12, сумма 36 = AB. Типичная ошибка — считать AB равным сумме радиусов 45 (это расстояние между центрами, а не отрезок касательной) или взять в прямоугольном треугольнике катетом сумму радиусов вместо их разности 27.
Ответ: 4
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно выведена длина отрезка общей касательной 2√(Rr) (радиусы перпендикулярны прямой, расстояние между центрами равно сумме радиусов, прямоугольная трапеция), найдено AB = 36, верно составлено уравнение AC + CB = AB и получен радиус 4.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но формула 2√(Rr) применена без обоснования (не объяснено, что расстояние между центрами равно сумме радиусов) или допущена одна вычислительная ошибка при нахождении AB = 36 или √x.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.