Условие
Два вертикальных столба высотой 4 м и 2,4 м стоят на ровной земле на расстоянии 5 м друг от друга. От верхушки каждого столба к основанию другого натянута верёвка. На какой высоте (в метрах) над землёй пересекаются верёвки?
Подсказка
Опустите из точки пересечения перпендикуляр на землю и найдите подобные треугольники.
Запишите два отношения y к высотам столбов и сложите их.
Сумма двух отрезков земли равна расстоянию между столбами.
Показать ответ
1,5
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть верёвки пересекаются в точке P на высоте y. Опустим из P перпендикуляр на землю; его основание делит расстояние 5 м на части: p — до первого столба (высотой 4 м), q — до второго, p+q=5.
- Подобие для первой верёвки
Верёвка от верхушки столба 4 м идёт к основанию второго столба. Треугольник «перпендикуляр y и отрезок q» подобен треугольнику «столб 4 и всё расстояние 5»: y/4=q/5.
- Подобие для второй верёвки
Точно так же для верёвки от верхушки столба 2,4 м: y/2,4=p/5.
- Складываем равенства
y/4+y/2,4=(p+q)/5=1. Значит, y·(1/4+1/2,4)=1, откуда y=4·2,4/(4+2,4)=9,6/6,4=1,5 м.
- Проверяем и замечаем интересное
Из y/4=q/5 находим q=1,875 м, тогда p=3,125 м и y/2,4=5/8=p/5 — верно. Расстояние между столбами в ответ не вошло: высота пересечения от него не зависит.
Ответ: 1,5