Условие
Арка моста имеет форму дуги окружности. Расстояние между концами дуги (пролёт арки) равно 30 м, а наибольшая высота арки над отрезком, соединяющим её концы, равна 5 м. Найдите радиус этой окружности в метрах.
Подсказка
Центр окружности лежит на прямой, по которой измеряется высота арки.
Рассмотрите прямоугольный треугольник: радиус, половина пролёта и отрезок R минус высота арки.
После раскрытия скобки R² сократится, останется линейное уравнение.
Показать ответ
25
Пошаговое решение
- Отмечаем центр и прямоугольный треугольник
Центр O окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB между концами дуги — на той же прямой, что и высота арки. Середина M отрезка AB: AM=30:2=15 м. Треугольник OMA прямоугольный, его гипотенуза OA=R.
- Выражаем катет OM через R
Высшая точка арки T лежит на окружности, поэтому OT=R, а OM=OT−MT=R−5.
- Записываем теорему Пифагора
R²=15²+(R−5)². Раскроем скобку: R²=225+R²−10R+25. R² сокращается: 10R=225+25=250.
- Находим радиус и проверяем
R=250:10=25 м. Тогда OM=25−5=20 и 20²+15²=400+225=625=25². Ошибка — брать катетом весь пролёт 30 м вместо его половины.
Ответ: 25