Условие
Арка моста имеет форму дуги окружности. Расстояние между концами дуги (пролёт арки) равно 24 м, а наибольшая высота арки над отрезком, соединяющим её концы, равна 8 м. Найдите радиус этой окружности в метрах.
Подсказка
Центр окружности лежит на прямой, по которой измеряется высота арки.
Рассмотрите прямоугольный треугольник: радиус, половина пролёта и отрезок R минус высота арки.
После раскрытия скобки R² сократится, останется линейное уравнение.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Отмечаем центр и прямоугольный треугольник
Центр O окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB между концами дуги — на той же прямой, что и высота арки. Середина M отрезка AB: AM=24:2=12 м. Треугольник OMA прямоугольный, его гипотенуза OA=R.
- Выражаем катет OM через R
Высшая точка арки T лежит на окружности, поэтому OT=R, а OM=OT−MT=R−8.
- Записываем теорему Пифагора
R²=12²+(R−8)². Раскроем скобку: R²=144+R²−16R+64. R² сокращается: 16R=144+64=208.
- Находим радиус и проверяем
R=208:16=13 м. Тогда OM=13−8=5 и 5²+12²=25+144=169=13². Ошибка — брать катетом весь пролёт 24 м вместо его половины.
Ответ: 13