Условие
Деревянную заготовку в форме прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ распилили плоскостью, проходящей через середины M и N рёбер AB и AC параллельно боковому ребру AA₁ (см. рисунок). Объём меньшей части оказался равен 5 см³. Найдите объём всей заготовки в кубических сантиметрах.
Подсказка
Обе части — призмы той же высоты. Сравните площади их оснований.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Смотрим, на какие тела распалась призма
Плоскость распила параллельна боковому ребру, поэтому обе части — прямые призмы той же высоты, что и заготовка: меньшая с основанием AMN, большая с основанием-трапецией MBCN.
- Сводим объёмы к площадям оснований
У призм одной высоты объёмы относятся так же, как площади оснований (V=Sосн·h, высота одна и та же).
- Находим, какую часть площади занимает треугольник AMN
MN — средняя линия треугольника ABC: AM=½·AB, AN=½·AC, угол A общий. Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом ½, а площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: (½)²=¼.
- Считаем
Меньшая часть — четверть заготовки, значит, V=4·5=20 см³. Ошибка — умножить на 2: сторона треугольника AMN вдвое меньше стороны ABC, но площадь меньше в 2²=4 раза.
Ответ: 20