Условие
Точки D и E — середины сторон AC и BC треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь четырёхугольника ABED.
Подсказка
DE — средняя линия; какой коэффициент подобия у треугольников CDE и CAB?
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Замечаем среднюю линию
D и E — середины сторон AC и BC, поэтому DE — средняя линия треугольника ABC: DE ∥ AB и DE=AB/2.
- Находим коэффициент подобия
Треугольники CDE и CAB подобны: угол C общий, а CD/CA=CE/CB=1/2. Коэффициент подобия k=1/2.
- Переходим к площадям
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: S(CDE)/S(ABC)=k²=1/4. Ошибка — считать, что площадь уменьшилась вдвое, как стороны.
- Считаем
Треугольник CDE занимает четверть площади треугольника ABC: S(CDE)=¼·S(ABC)=48/4=12. Четырёхугольник ABED — это треугольник ABC без треугольника CDE: S(ABED)=48−12=36.
- Проверяем
Части относятся как 12:36=1:3: треугольник CDE — одна четверть, четырёхугольник ABED — три четверти, вместе 12+36=48.
Ответ: 36