Условие
В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 6 и 8. Найдите высоту CH, проведённую к гипотенузе.
Подсказка
Площадь прямоугольного треугольника можно найти через катеты и через гипотенузу с высотой.
Сначала найдите гипотенузу по теореме Пифагора.
Показать ответ
4,8
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу
По теореме Пифагора AB²=AC²+BC²=6²+8²=36+64=100, AB=√100=10.
- Записываем площадь двумя способами
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (один катет — высота к другому): S=½·6·8=24. С другой стороны, CH — высота к стороне AB, поэтому S=½·AB·CH=½·10·CH.
- Находим высоту
Приравниваем: ½·10·CH=24, откуда CH=2·24/10=48/10=4,8. Короче: высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.
- Проверяем через отрезки гипотенузы
Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: AH=AC²/AB=36/10=3,6, HB=BC²/AB=64/10=6,4. Высота — среднее пропорциональное отрезков: CH²=AH·HB=3,6·6,4=23,04, и 4,8²=23,04. Совпало.
Ответ: 4,8