Условие
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3 и DC=5. Площадь треугольника BDC равна 25. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
У треугольников с общей вершиной B и основаниями на прямой AC одна и та же высота.
При равных высотах площади треугольников относятся как их основания.
Показать ответ
40
Пошаговое решение
- Замечаем общую высоту
Треугольники ABD, BDC и ABC имеют общую вершину B, а их основания AD, DC и AC лежат на одной прямой AC. Значит, высота из B к прямой AC у них одна и та же — обозначим её h.
- Выводим отношение площадей
Площадь каждого из них равна ½·основание·h. При одинаковой высоте площади относятся как основания: S(ABC)/S(BDC)=AC/DC.
- Подставляем длины и находим площадь
Вся сторона AC=AD+DC=3+5=8. Нужные основания: AC=8 и DC=5. S(ABC)=25·8/5=40.
- Проверяем через высоту
Из S(BDC)=½·5·h=25 получаем h=10. Тогда S(ABC)=½·8·10=40.
Ответ: 40