ЕГЭ БАЗА, задание 16: Степени, корни и логарифмы

Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю.

Произведение сопряжённых выражений вычисляется по формуле разности квадратов.

1. Решаем, как избавиться от корня в знаменателе

   Знаменатель 3−√5 иррационален. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение 3+√5: значение дроби от этого не меняется (умножаем на 1), а знаменатель станет целым.

2. Упрощаем знаменатель по формуле разности квадратов

   (a−b)(a+b)=a²−b², поэтому (3−√5)(3+√5)=3²−(√5)²=9−5=4.

3. Сокращаем дробь

   8(3+√5)/4=2(3+√5)=6+2√5. Теперь дробь записана без корня в знаменателе.

4. Выполняем последнее действие

   Вычитаем оставшееся слагаемое: 6+2√5−2√5=6. Корни взаимно уничтожились, поэтому ответ рациональный — это хорошая проверка правильности преобразований.

Ответ: 6