ЕГЭ БАЗА, задание 16: Степени, корни и логарифмы

Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю.

Произведение сопряжённых выражений вычисляется по формуле разности квадратов.

1. Решаем, как избавиться от корня в знаменателе

   Знаменатель √5−1 иррационален. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение √5+1: значение дроби от этого не меняется (умножаем на 1), а знаменатель станет целым.

2. Упрощаем знаменатель по формуле разности квадратов

   (a−b)(a+b)=a²−b², поэтому (√5−1)(√5+1)=(√5)²−1²=5−1=4.

3. Сокращаем дробь

   4(√5+1)/4=√5+1. Теперь дробь записана без корня в знаменателе.

4. Выполняем последнее действие

   Вычитаем оставшееся слагаемое: √5+1−√5=1. Корни взаимно уничтожились, поэтому ответ рациональный — это хорошая проверка правильности преобразований.

Ответ: 1