Условие
Найдите значение выражения √x·∛x/⁶√x при x=27.
Подсказка
Замените каждый корень степенью с дробным показателем.
Сложите и вычтите дробные показатели, приведя их к общему знаменателю.
Подставляйте x=27 только в итоговую степень.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Записываем корни как степени
Для x>0 корень n-й степени из x^m равен степени с дробным показателем: ⁿ√(x^m)=x^(m/n). Поэтому √x=x^(1/2); ∛x=x^(1/3); ⁶√x=x^(1/6).
- Объединяем степени с одинаковым основанием
При умножении показатели складываются, при делении вычитаются. Показатель всего выражения: 1/2+1/3−1/6. Приводим к общему знаменателю 6: 3/6+2/6−1/6=4/6=2/3.
- Получаем простую степень
Выражение равно x^(2/3). Подставлять число выгодно только сейчас: если подставить x=27 сразу, то ⁶√27 не извлекается нацело, и пришлось бы работать с иррациональными числами.
- Подставляем значение переменной
27=3³, поэтому 27^(2/3)=(∛27)²=3²=9.
Ответ: 9