ЕГЭ БАЗА, задание 16: Степени, корни и логарифмы

Запишите большее основание как степень меньшего.

При возведении степени в степень показатели перемножаются — раскройте скобки в показателе.

Сложите (или вычтите) показатели: слагаемые с корнем должны сократиться.

1. Понимаем, почему нельзя считать степени по отдельности

   Каждая степень, например 3^(2√5+1), — «некрасивое» иррациональное число: √5 не извлекается нацело, и приближённые вычисления дали бы неточный ответ. Поэтому преобразуем всё выражение, чтобы корни в показателях сократились.

2. Приводим к одному основанию

   9=3², поэтому по правилу (a^m)^n=a^(m·n): 9^(1−√5)=(3²)^(1−√5)=3^(2·(1−√5))=3^(2−2√5). Теперь в выражении обе степени с основанием 3.

3. Объединяем показатели

   Для умножения степеней с одинаковым основанием действует правило a^m·a^n=a^(m+n). Показатель результата: (2√5+1)+(2−2√5)=2√5−2√5+1+2=3. Слагаемые с √5 взаимно уничтожились.

4. Вычисляем степень

   Осталось 3³=27. Обратите внимание: при умножении степеней одного основания показатели складываются, а не перемножаются.

Ответ: 27