Условие
Решите уравнение √(3x+5)=√(x²−5). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Подсказка
Два квадратных корня равны, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны.
Каждое найденное значение подставьте под оба корня.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Записываем условия существования корней
Квадратный корень извлекается только из неотрицательного числа: 3x+5≥0 и x²−5≥0. Если под корнями равные числа, то одно условие влечёт другое, поэтому достаточно проверить одно из них, но для надёжности подставим корни в оба.
- Возводим обе части в квадрат
Обе части неотрицательны, поэтому равенство корней равносильно равенству подкоренных выражений при выполнении условий. 3x+5=x²−5. Переносим все слагаемые в одну часть: x²−3x−10=0. D=b²−4ac=(−3)²−4·1·(−10)=9+40=49, √D=7. x₁=(3−7)/2=−2, x₂=(3+7)/2=5.
- Проверяем найденные значения
x=−2: 3x+5=−1, x²−5=−1 — под корнями отрицательные числа, корень посторонний; x=5: 3x+5=20, x²−5=20 — оба выражения неотрицательны, корень подходит.
- Записываем ответ
Подходит только 5. Именно поэтому проверка обязательна: после возведения в квадрат запрет на отрицательные подкоренные выражения «исчезает».
Ответ: 5