Условие
Найдите корень уравнения log₂(log₅(x+5))=1.
Подсказка
Решайте «снаружи внутрь»: сначала найдите значение внутреннего логарифма.
Дважды примените определение логарифма, следя за основаниями.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Обозначаем внутренний логарифм
Уравнение «двухэтажное». Обозначим t=log₅(x+5). Тогда внешнее уравнение простое: log₂t=1.
- Снимаем внешний логарифм
По определению логарифма t=2¹=2. Значит, log₅(x+5)=2.
- Снимаем внутренний логарифм
Снова по определению: x+5=5²=25, откуда x=20. Частая ошибка — перепутать основания и возвести не то число: основание внутреннего логарифма — 5, внешнего — 2.
- Проверяем ОДЗ и подстановкой
Нужно x+5>0 и, кроме того, log₅(x+5)>0 — ведь внутренний логарифм сам стоит под знаком логарифма. При x=20: log₅(x+5)=log₅25=2>0, и log₂2=1. Всё верно.
Ответ: 20