Условие
Найдите корень уравнения log₃(log₂x)=1.
Подсказка
Решайте «снаружи внутрь»: сначала найдите значение внутреннего логарифма.
Дважды примените определение логарифма, следя за основаниями.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Обозначаем внутренний логарифм
Уравнение «двухэтажное». Обозначим t=log₂x. Тогда внешнее уравнение простое: log₃t=1.
- Снимаем внешний логарифм
По определению логарифма t=3¹=3. Значит, log₂x=3.
- Снимаем внутренний логарифм
Снова по определению: x=2³=8. Частая ошибка — перепутать основания и возвести не то число: основание внутреннего логарифма — 2, внешнего — 3.
- Проверяем ОДЗ и подстановкой
Нужно x>0 и, кроме того, log₂x>0 — ведь внутренний логарифм сам стоит под знаком логарифма. При x=8: log₂x=log₂8=3>0, и log₃3=1. Всё верно.
Ответ: 8