Условие
Найдите корень уравнения log₂(log₃x)=1.
Подсказка
Решайте «снаружи внутрь»: сначала найдите значение внутреннего логарифма.
Дважды примените определение логарифма, следя за основаниями.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Обозначаем внутренний логарифм
Уравнение «двухэтажное». Обозначим t=log₃x. Тогда внешнее уравнение простое: log₂t=1.
- Снимаем внешний логарифм
По определению логарифма t=2¹=2. Значит, log₃x=2.
- Снимаем внутренний логарифм
Снова по определению: x=3²=9. Частая ошибка — перепутать основания и возвести не то число: основание внутреннего логарифма — 3, внешнего — 2.
- Проверяем ОДЗ и подстановкой
Нужно x>0 и, кроме того, log₃x>0 — ведь внутренний логарифм сам стоит под знаком логарифма. При x=9: log₃x=log₃9=2>0, и log₂2=1. Всё верно.
Ответ: 9