Условие
Найдите корень уравнения log₃(4x+5)−log₃(x−1)=2.
Подсказка
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного.
Не забудьте, что оба аргумента исходного уравнения должны быть положительны.
Показать ответ
2,8
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Оба аргумента положительны: 4x+5>0 и x−1>0. Первое условие даёт x>−5/4, второе — x>1; оба выполняются при x>1.
- Заменяем разность логарифмов логарифмом частного
На ОДЗ разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного: log₃((4x+5)/(x−1))=2.
- Применяем определение логарифма
Частное равно основанию в степени 2: (4x+5)/(x−1)=3²=9. Умножаем на знаменатель (на ОДЗ он не равен нулю): 4x+5=9·(x−1)=9x−9.
- Решаем линейное уравнение
Слагаемые с x переносим влево, числа — вправо: 4x−9x=−9−5, откуда −5x=−14, x=−14:(−5)=2,8.
- Проверяем ОДЗ и подстановкой
2,8>1 — ОДЗ выполнена. Аргументы: 4x+5=16,2, x−1=1,8, частное 16,2:1,8=9, и log₃9=2. Частая ошибка — заменить разность логарифмов логарифмом разности.
Ответ: 2,8