Условие
Решите уравнение 2log₇x=log₇(6x−8). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.
Подсказка
Сначала запишите, при каких x определена левая часть исходного уравнения.
Коэффициент 2 перед логарифмом можно внести показателем в аргумент.
Каждый найденный корень проверьте по ОДЗ исходного уравнения, а не преобразованного.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ по исходному уравнению
log₇x определён при x>0, log₇(6x−8) — при 6x−8>0. Итого x>0 и x>4/3, то есть x>4/3. ОДЗ записываем именно для исходного уравнения, до всех преобразований.
- Вносим коэффициент в логарифм
При x>0 верно 2log₇x=log₇x². Уравнение принимает вид log₇x²=log₇(6x−8), и аргументы равны: x²=6x−8, то есть x²−6x+8=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=b²−4ac=(−6)²−4·1·8=36−32=4, √D=2. x₁=(6−2)/2=2, x₂=(6+2)/2=4.
- Отбираем корни по ОДЗ
Оба корня положительны, и при каждом 6x−8>0: 6·2−8=4, 6·4−8=16. Сумма корней 2+4=6.
Ответ: 6