Условие
Решите уравнение 2log₂x=log₂(3x+10). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.
Подсказка
Сначала запишите, при каких x определена левая часть исходного уравнения.
Коэффициент 2 перед логарифмом можно внести показателем в аргумент.
Каждый найденный корень проверьте по ОДЗ исходного уравнения, а не преобразованного.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ по исходному уравнению
log₂x определён при x>0, log₂(3x+10) — при 3x+10>0. Итого x>0 (второе условие при этом выполняется само). ОДЗ записываем именно для исходного уравнения, до всех преобразований.
- Вносим коэффициент в логарифм
При x>0 верно 2log₂x=log₂x². Уравнение принимает вид log₂x²=log₂(3x+10), и аргументы равны: x²=3x+10, то есть x²−3x−10=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=b²−4ac=(−3)²−4·1·(−10)=9+40=49, √D=7. x₁=(3−7)/2=−2, x₂=(3+7)/2=5.
- Отбираем корни по ОДЗ
Корень −2 не входит в ОДЗ: log₂(−2) не существует, хотя (−2)²=4 и 3·(−2)+10=4 — после замены 2log₂x на log₂x² уравнение «не видит» этот запрет. Остаётся один корень 5. Если записать сумму обоих корней, получится неверный ответ 3.
Ответ: 5