Условие
Решите уравнение 2log₃x=log₃(2x+3). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.
Подсказка
Сначала запишите, при каких x определена левая часть исходного уравнения.
Коэффициент 2 перед логарифмом можно внести показателем в аргумент.
Каждый найденный корень проверьте по ОДЗ исходного уравнения, а не преобразованного.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ по исходному уравнению
log₃x определён при x>0, log₃(2x+3) — при 2x+3>0. Итого x>0 (второе условие при этом выполняется само). ОДЗ записываем именно для исходного уравнения, до всех преобразований.
- Вносим коэффициент в логарифм
При x>0 верно 2log₃x=log₃x². Уравнение принимает вид log₃x²=log₃(2x+3), и аргументы равны: x²=2x+3, то есть x²−2x−3=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=b²−4ac=(−2)²−4·1·(−3)=4+12=16, √D=4. x₁=(2−4)/2=−1, x₂=(2+4)/2=3.
- Отбираем корни по ОДЗ
Корень −1 не входит в ОДЗ: log₃(−1) не существует, хотя (−1)²=1 и 2·(−1)+3=1 — после замены 2log₃x на log₃x² уравнение «не видит» этот запрет. Остаётся один корень 3. Если записать сумму обоих корней, получится неверный ответ 2.
Ответ: 3