Условие
Найдите корень уравнения lg(3x+40)−lg(x+4)=1.
Подсказка
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного.
Не забудьте, что оба аргумента исходного уравнения должны быть положительны.
Показать ответ
0
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Оба аргумента положительны: 3x+40>0 и x+4>0. Первое условие даёт x>−40/3, второе — x>−4; оба выполняются при x>−4.
- Заменяем разность логарифмов логарифмом частного
На ОДЗ разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного: lg((3x+40)/(x+4))=1.
- Применяем определение логарифма
Частное равно основанию в степени 1: (3x+40)/(x+4)=10. Умножаем на знаменатель (на ОДЗ он не равен нулю): 3x+40=10·(x+4)=10x+40.
- Решаем линейное уравнение
Слагаемые с x переносим влево, числа — вправо: 3x−10x=40−40, откуда −7x=0, x=0:(−7)=0.
- Проверяем ОДЗ и подстановкой
0>−4 — ОДЗ выполнена. Аргументы: 3x+40=40, x+4=4, частное 40:4=10, и lg10=1. Частая ошибка — заменить разность логарифмов логарифмом разности.
Ответ: 0