Условие
Найдите корень уравнения log₂(x+6)−log₂(x−1)=3.
Подсказка
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного.
Не забудьте, что оба аргумента исходного уравнения должны быть положительны.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Оба аргумента положительны: x+6>0 и x−1>0. Первое условие даёт x>−6, второе — x>1; оба выполняются при x>1.
- Заменяем разность логарифмов логарифмом частного
На ОДЗ разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного: log₂((x+6)/(x−1))=3.
- Применяем определение логарифма
Частное равно основанию в степени 3: (x+6)/(x−1)=2³=8. Умножаем на знаменатель (на ОДЗ он не равен нулю): x+6=8·(x−1)=8x−8.
- Решаем линейное уравнение
Слагаемые с x переносим влево, числа — вправо: x−8x=−8−6, откуда −7x=−14, x=−14:(−7)=2.
- Проверяем ОДЗ и подстановкой
2>1 — ОДЗ выполнена. Аргументы: x+6=8, x−1=1, частное 8:1=8, и log₂8=3. Частая ошибка — заменить разность логарифмов логарифмом разности.
Ответ: 2