Условие
Решите уравнение logₓ₊₂ 25=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Подсказка
Вспомните, каким может быть основание логарифма.
По определению логарифма основание в степени, стоящей справа, равно аргументу.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Записываем ограничения на основание
Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: x+2>0 и x+2≠1, то есть x>−2 и x≠−1. Аргумент 25 положителен, для него условий нет.
- Применяем определение логарифма
logₐb=n означает aⁿ=b. Здесь основание x+2, поэтому (x+2)²=25.
- Находим кандидатов
Квадрат равен 25 у двух чисел: x+2=5 или x+2=−5. Отсюда x=3 или x=−7.
- Отбираем корень по ограничениям
При x=−7 основание равно −5<0 — такого логарифма нет, корень посторонний, хотя он и меньше. При x=3 основание равно 5: оно больше 0 и не равно 1, это единственный корень. Проверка: log₅ 25=2, ведь 5²=25.
Ответ: 3