Условие
Найдите корень уравнения log₂₇(3^(x+4))=2.
Подсказка
Запишите основание логарифма как степень числа 3.
По определению логарифма аргумент равен основанию в степени, стоящей справа.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Разбираемся, что стоит под логарифмом
Под знаком логарифма — степень 3^(x+4), она положительна при любом x, поэтому ограничений на x нет. Основание логарифма 27 — тоже степень числа 3: 27=3³.
- Применяем определение логарифма
Равенство log₂₇A=2 означает A=27². Считаем через основание 3: 27²=(3³)²=3^(3·2)=3⁶.
- Приравниваем показатели
Получили 3^(x+4)=3⁶, основания равны, значит x+4=6. Отсюда x=6−4=2.
- Проверяем другим способом
log₂₇3=1/3, так как 27^(1/3)=3. Логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм основания: log₂₇(3^t)=t/3. При x=2 показатель t=6, и 6/3=2 — верно.
Ответ: 2