Условие
Найдите корень уравнения log₉(3^(2x−7))=1,5.
Подсказка
Запишите основание логарифма как степень числа 3.
По определению логарифма аргумент равен основанию в степени, стоящей справа.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Разбираемся, что стоит под логарифмом
Под знаком логарифма — степень 3^(2x−7), она положительна при любом x, поэтому ограничений на x нет. Основание логарифма 9 — тоже степень числа 3: 9=3².
- Применяем определение логарифма
Равенство log₉A=1,5 означает A=9^(1,5). Считаем через основание 3: 9^(1,5)=(3²)^(1,5)=3^(2·1,5)=3³.
- Приравниваем показатели
Получили 3^(2x−7)=3³, основания равны, значит 2x−7=3. Отсюда 2x=3+7=10 и x=5.
- Проверяем другим способом
log₉3=1/2, так как 9^(1/2)=3. Логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм основания: log₉(3^t)=t/2. При x=5 показатель t=3, и 3/2=1,5 — верно.
Ответ: 5