Условие
Решите уравнение log₃(x²−4)=log₃(3x). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Подсказка
Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны их аргументы.
Каждый найденный корень подставьте в оба аргумента: оба должны быть положительны.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому нужны сразу два условия: x²−4>0 и 3x>0. Решать эту систему заранее не обязательно — удобнее проверить найденные корни.
- Приравниваем аргументы
Основания логарифмов одинаковы (3>1), а логарифмическая функция монотонна, поэтому логарифмы равны только при равных аргументах: x²−4=3x, то есть x²−3x−4=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=b²−4ac=(−3)²−4·1·(−4)=9+16=25, √D=5. x₁=(3−5)/2=−1, x₂=(3+5)/2=4.
- Проверяем каждый корень по ОДЗ
x=−1: x²−4=−3, 3x=−3 — оба аргумента отрицательны, корень посторонний; x=4: x²−4=12, 3x=12 — оба положительны, корень подходит.
- Выбираем ответ
Остался один корень 4. Если бы мы не проверили ОДЗ, «меньшим корнем» ошибочно назвали бы −1.
Ответ: 4