Условие
Найдите корень уравнения log₄(2^(3x+1))=5.
Подсказка
Запишите основание логарифма как степень числа 2.
По определению логарифма аргумент равен основанию в степени, стоящей справа.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Разбираемся, что стоит под логарифмом
Под знаком логарифма — степень 2^(3x+1), она положительна при любом x, поэтому ограничений на x нет. Основание логарифма 4 — тоже степень числа 2: 4=2².
- Применяем определение логарифма
Равенство log₄A=5 означает A=4⁵. Считаем через основание 2: 4⁵=(2²)⁵=2^(2·5)=2¹⁰.
- Приравниваем показатели
Получили 2^(3x+1)=2¹⁰, основания равны, значит 3x+1=10. Отсюда 3x=10−1=9 и x=3.
- Проверяем другим способом
log₄2=1/2, так как 4^(1/2)=2. Логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм основания: log₄(2^t)=t/2. При x=3 показатель t=10, и 10/2=5 — верно.
Ответ: 3