Условие
Решите уравнение 3^(x²−5x)=1/81. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Подсказка
Запишите правую часть как степень числа 3.
После приравнивания показателей получится квадратное уравнение.
Сравните два корня и выберите тот, о котором спрашивают.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Записываем правую часть степенью числа 3
1/81=1/(3⁴)=3⁻⁴: делению на степень соответствует отрицательный показатель. Теперь слева и справа степени с одним основанием 3.
- Приравниваем показатели
Так как 3>0 и 3≠1, равенство степеней означает равенство показателей: x²−5x=−4. Показатель — квадратный трёхчлен, поэтому получаем квадратное уравнение x²−5x+4=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=b²−4ac=(−5)²−4·1·4=25−16=9, √D=3. x₁=(5−3)/2=1, x₂=(5+3)/2=4.
- Выбираем нужный корень и проверяем
Оба корня подходят: у показательного уравнения ограничений на x нет. Нужен больший корень: 4. Проверка: 4²−5·4=−4, и 3⁻⁴=1/81.
Ответ: 4