Условие
Решите уравнение log₅(x²−3)=log₅(2x). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Подсказка
Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны их аргументы.
Каждый найденный корень подставьте в оба аргумента: оба должны быть положительны.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому нужны сразу два условия: x²−3>0 и 2x>0. Решать эту систему заранее не обязательно — удобнее проверить найденные корни.
- Приравниваем аргументы
Основания логарифмов одинаковы (5>1), а логарифмическая функция монотонна, поэтому логарифмы равны только при равных аргументах: x²−3=2x, то есть x²−2x−3=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=b²−4ac=(−2)²−4·1·(−3)=4+12=16, √D=4. x₁=(2−4)/2=−1, x₂=(2+4)/2=3.
- Проверяем каждый корень по ОДЗ
x=−1: x²−3=−2, 2x=−2 — оба аргумента отрицательны, корень посторонний; x=3: x²−3=6, 2x=6 — оба положительны, корень подходит.
- Выбираем ответ
Остался один корень 3. Если бы мы не проверили ОДЗ, «меньшим корнем» ошибочно назвали бы −1.
Ответ: 3