Условие
Решите уравнение cos(π(x+2)/4)=√2/2. В ответе напишите наименьший положительный корень.
Подсказка
Сначала решите уравнение cos t = число, а потом выразите x через t.
У косинуса две серии решений — рассмотрите обе.
Подставляйте n = 0, 1, −1, … и выбирайте нужное значение.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Решаем простейшее уравнение относительно аргумента
Обозначим t=π(x+2)/4. cos t=√2/2 при t=±π/4+2πn, n — целое. Знак ± нужен потому, что на единичной окружности косинус √2/2 имеют две точки, симметричные относительно оси абсцисс.
- Выражаем x
π(x+2)/4=±π/4+2πn. Умножаем на 4/π: x+2=±1+8n. Получаем две серии: x=−1+8n и x=−3+8n.
- Перебираем значения n
Первая серия: n=0: −1, n=1: 7. Вторая серия: n=0: −3, n=1: 5. Из положительных значений наименьшее — 5; оно из второй серии. Если бы мы выписали только первую серию, ответ получился бы неверным.
- Проверяем
При x=5 аргумент равен 7π/4=−π/4+2π, а cos(−π/4)=√2/2.
Ответ: 5