Условие
Решите уравнение cos(π(x−1)/3)=1/2. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Подсказка
Сначала решите уравнение cos t = число, а потом выразите x через t.
У косинуса две серии решений — рассмотрите обе.
Подставляйте n = 0, 1, −1, … и выбирайте нужное значение.
Показать ответ
-4
Пошаговое решение
- Решаем простейшее уравнение относительно аргумента
Обозначим t=π(x−1)/3. cos t=1/2 при t=±π/3+2πn, n — целое. Знак ± нужен потому, что на единичной окружности косинус 1/2 имеют две точки, симметричные относительно оси абсцисс.
- Выражаем x
π(x−1)/3=±π/3+2πn. Умножаем на 3/π: x−1=±1+6n. Получаем две серии: x=2+6n и x=6n.
- Перебираем значения n
Первая серия: n=−1: −4, n=0: 2. Вторая серия: n=−1: −6, n=0: 0. Из отрицательных значений наибольшее — −4; оно из первой серии.
- Проверяем
При x=−4 аргумент равен −5π/3=π/3−2π, а cos(π/3)=1/2.
Ответ: -4