Условие
Найдите наибольшее целое x, при котором верно неравенство (x²−2x+5)(7−2x)>0.
Подсказка
Посмотрите на выражение с x²: может ли оно быть отрицательным или равным нулю?
Положительный множитель или делитель не влияет на знак — его можно отбросить.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Проверяем знак квадратного трёхчлена
Выделим полный квадрат: x²−2x+5=(x−1)²+4. Квадрат неотрицателен, значит, трёхчлен всегда не меньше 4 и положителен (его дискриминант 4−20=−16<0 — корней нет).
- Сводим к линейному неравенству
Произведение с положительным первым множителем больше нуля тогда и только тогда, когда второй множитель положителен: 7−2x>0, −2x>−7, делим на −2 и меняем знак: x<3,5.
- Выбираем наибольшее целое
Наибольшее целое число меньше 3,5 — это 3. Проверка: (9−6+5)·(7−6)=8>0 верно, а при x=4: (16−8+5)·(7−8)=−13<0.
- Разбираем типичную ошибку
Искать нули выражения с x² бесполезно — их нет, и расставлять знаки на промежутках не нужно. Выражение, которое положительно при всех x, можно просто отбросить (или разделить на него), не меняя знака неравенства.
Ответ: 3