Условие
Найдите наименьшее целое x, при котором верно неравенство (2x+7)/(x²−4x+5)≥0.
Подсказка
Посмотрите на выражение с x²: может ли оно быть отрицательным или равным нулю?
Положительный множитель или делитель не влияет на знак — его можно отбросить.
Показать ответ
-3
Пошаговое решение
- Проверяем знак знаменателя
Выделим полный квадрат: x²−4x+5=(x²−4x+4)+1=(x−2)²+1. Квадрат неотрицателен, поэтому знаменатель не меньше 1 при любом x: он всегда положителен и в нуль не обращается.
- Сводим к линейному неравенству
Умножим обе части на положительное число x²−4x+5, знак не изменится: 2x+7≥0, 2x≥−7, x≥−3,5. Граница входит: при x=−3,5 числитель равен нулю, значит, и дробь равна нулю, а неравенство нестрогое.
- Выбираем наименьшее целое
Граница −3,5 нецелая. Наименьшее целое число, не меньшее −3,5, — это −3 (число −4 уже меньше −3,5). Проверка: при x=−3 дробь равна (−6+7)/(9+12+5)=1/26≥0 — верно, а при x=−4 получаем (−8+7)/(16+16+5)=−1/37<0.
- Разбираем типичную ошибку
Искать нули выражения с x² бесполезно — их нет, и расставлять знаки на промежутках не нужно. Выражение, которое положительно при всех x, можно просто отбросить (или разделить на него), не меняя знака неравенства.
Ответ: -3