Условие
Найдите наибольшее целое x, при котором верно неравенство (x²+4)/(x−3)≤0.
Подсказка
Посмотрите на выражение с x²: может ли оно быть отрицательным или равным нулю?
Положительный множитель или делитель не влияет на знак — его можно отбросить.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Замечаем множитель, который всегда положителен
Числитель x²+4 при любом x не меньше 4: квадрат неотрицателен, и к нему прибавляют 4. Значит, числитель всегда положителен и на знак дроби не влияет.
- Сводим к простому неравенству
Дробь с положительным числителем не больше нуля только тогда, когда знаменатель отрицателен (равной нулю она не бывает, а знаменатель нулём быть не может): x−3<0, то есть x<3.
- Выбираем наибольшее целое
Граница 3 не входит: при x=3 знаменатель равен нулю. Наибольшее целое число меньше 3 — это 2. Проверка: (4+4)/(2−3)=−8≤0.
- Разбираем типичную ошибку
Искать нули выражения с x² бесполезно — их нет, и расставлять знаки на промежутках не нужно. Выражение, которое положительно при всех x, можно просто отбросить (или разделить на него), не меняя знака неравенства.
Ответ: 2